Возможно ли, чтобы должность американского президента занимал человек, который никогда не ходил в школу?

Да, возможно. В американской истории такой прецедент был - Эндрю Джонсон был единственным американским президентом, который никогда не ходил в школу, так как он был самоучкой.

Э́ндрю Джо́нсон (29 декабря 1808 — 31 июля 1875) — семнадцатый президент Соединённых Штатов Америки с 1865 по 1869, первоначально представитель Демократической партии, избранный в 1864 вице-президентом при республиканце А. Линкольне (в то время блок, который они представляли, именовался «Национальный союз»). Став преемником Линкольна после его убийства, Джонсон несмотря на приобретение Аляски утратил популярность и против него Сенат США рассматривал даже дело об импичменте.

Джонсон родился в Северной Каролине. Его отец был бедным фермером, а после его смерти семью обеспечивала мать, работавшая прачкой. Она отдала сына в подмастерье к портному Джеймсу Селби, где Джонсон получил так же навыки грамоты. В последствие, даже будучи президентом, Джонсон сам себе шил верхнюю одежду. Переселился в Гренвилль, Теннесси, где открыл собственную мастерскую и женился на дочери сапожника Эльзе МаКардл (любопытно, что брак зарегистрировал мировой судья Мордекай Линкольн, двоюродный дядя будущего президента). При её поддержке Джонсон учился грамоте и активно занимался самообразованием.