В каком столетии по григорианскому летоисчислению появился на свет человек, родившийся на территории Российской империи 25 декабря 1899 года (по старому стилю)?

Всё еще в XIX столетии.

25 декабря 1899 года по юлианскому летоисчислению (по старому стилю) соответствует 6 января 1900 года по григорианскому летоисчислению (по новому стилю).

Однако новый век наступает не в нулевой год столетия (заканчивающийся на два нуля), а в первый его год (то есть, заканчивающийся на 01). Именно поэтому первым годом нового столетия был не 1900 год, а 1901 год.

Таким образом, человек, родившийся 25 декабря 1899 года независимо от летоисчисления, по которому учитывается дата его рождения (то ли по старому, то ли по новому стилю), все равно появился на свет в XIX столетии.